Résumé
On peut associer à tout signal S(t), une fonction de Wigner Ville, mais la transformation inverse est beaucoup plus délicate. Si l'on prend une fonction arbitraire des deux variables indépendantes t et ω, ordinairement, on ne peut lui associer aucun signal. Une première issue à ces difficultés consiste à choisir S(t) de telle sorte que la fonction de Wigner Ville approxime au mieux, au sens des moindres carrés, la fonction que nous voulons synthétiser. Notre approche est différente et part de la nécessité logique en mécanique quantique, d'être capable de construire une fonction d'onde décrivant dans la limite classique (ħ → 0), une distribution arbitraire de l'espace des phases. Alors, la synthèse devient possible sous deux conditions: a) Nous devons traîter des distributions Φ)(t, ω) à haute fréquence, c'est à dire dont la fréquence caractéristique doit être bien plus grande que la fréquence caractérisant l'évolution temporelle de Φ; b) Nous devons utiliser la fonction de Wigner Ville obtenue en moyennant à l'aide d'un noyau qui ici, est une double gaussienne caractérisée par ot et σω avec σt σω 1/2. t La synthèse est obtenue en prenant ?? S(t) = ΣJ Σm A(J,m) exp i (JΔ +md)t En choisissant convenablement σt, σω,Δ et d, on montre que A(J,m)est directement lié à QJ t), l'intégrale sur ω de (Φ(t,ω) dans l'intervalle (J-1/2) A, (J+1/2)Δ. Plus précisément, A(J,m) est le développement de Fourier de [QJ(t)]½. Vous voyons que, dans cette solution, les informations sur t et ω sont entremêlées et nous construisons des paquets d'onde autour des fréquences caractérisant ∫Φ (t, ω) dt. La méthode est illustrée par un exemple numérique qui montre comment la synthèse est réalisée et ce qu'il advient quand les inégalités entre les différents paramètres ne sont pas respectées.